Составить уравнение плоскости, если точка М(3,2,4) служит основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат

Решение:

Пусть точка K(x,y,z) - произвольная точка плоскости. Составим на плоскости вектор MK. Он имеет координаты (x-3,y+2,z-4). Возьмём теперь в качестве нормального вектора вектор ОМ, где т. О(0,0,0) - начало координат. Тогда вектор ОМ имеет координаты (3,2,4). Так как эти два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0. Но оно равно 3*(x-3)+(-2)*(y+2)+4*(z-4)=3x-2y+4z-29=0. Это и есть искомое уравнение плоскости. Ответ: 3x-2y+4z-29=0 

---

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной прямой (x-3)/4 = (y-2)/-1 = (z+1)/1

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору:
\( A(x-x_0)+b(y-y_0)+C(z-z_0)=0. \)

Здесь \( x_0, y_0 \) и \( z_0 \) ‑ координаты точки M, лежащей на плоскости P, A, B и C ‑ координаты вектора, перпендикулярного плоскости P. Этот вектор называется нормальным к плоскости P. Он же является и направляющим вектором заданной прямой.

Координаты начала координат - это нули, а направляющий вектор заданной прямой - это числа в знаменателях уравнения прямой: (4;-1;1).

Получаем уравнение искомой плоскости:

\( 4x-y+z=0. \)

Плоскость задана уравнением 2x-y-3z + 1 = 0. Найдите уравнение плоскости, которая гомотетичная данной относительно начала координат с коэффициентом.

Уравнение 2x-y-3z+1=0  есть уравнение плоскости, находящейся на расстоянии d1=(2*0-1*0-3*0+1)/√(2²+(-1)²+(-3)²)=1/√14. Так как плоскость, уравнение которой нужно найти, гомотетична относительно данной с коэффициентом 1/3, то расстояние от этой плоскости до начала координат d2=d1/3=1/(3*√14), а координаты нормального вектора этой плоскости A1=6, B1=-3, C1=-9. Поэтому уравнением плоскости будет 6x-3y-9z+1=0. Действительно, расстояние от этой плоскости до начала координат d2=1/√((6)²+(-3)²+(-9)²)=1/√126=1/√(14*9)=1/(3*√14).