Правильный многоугольник при повороте относительно своего центра на угол 84градусов переходит сам в себя. Какое наименьшее число сторон может иметь такой многоугольник?

Решение:

Чтобы многоугольник при повороте 84° переходил сам в себя нужно, чтобы градусная мера того количества секторов, на которые будет совершён поворот, совпадала с самим углом поворота. Совершенно очевидно, что если разбить окружность на 360 секторов, получив трёхсотшестидесятиугольник и провернуть его 84°, многоугольник совпадёт. Теперь нужно сократить количество секторов. Для этого сократим отношение количества градусов поворота к количеству градусов в окружности.
84:360=42:180=21:90=7:30.
Больше сократить нельзя. Это значит, что при повороте тридцатиугольника на 84° проскочат 7 секторов и он совпадёт.
Проверка: 360°/30*7=84°.
Ответ. 30 сторон.