Площадь правильного шестиугольнику равна 64. Найти площадь шестиугольника полученнного последовательным соединением середин его сторон?

Решение:

Площадь полученного шестиугольника будет меньше площади данного шестиугольника на шесть площадей равных равнобедренных треугольников. У этих треугольников боковые стороны равны ½ стороны данного шестиугольника, а угол между ними равен 120⁰.

SΔ= ½ ab · sin γ

S = ½ · ¼a² · (√3)/2 = \( \frac{\sqrt{3}a^2}{16} \) (кв. Ед. )

Из формулы площади шестиугольника S=\( \frac{3 \sqrt{3} a^2}{2} \) выражаем сторону а:

\( a^2 = \frac{2S}{3 \sqrt{3}} \) 

\( a^2 = \frac{128}{3 \sqrt{3}} \)

Подставляя в формулу площади треугольника, находим, что SΔ = 8/3 кв. Ед.

6SΔ = 16 кв. Ед.

Площадь полученного шестиугольника равна 64-16=48 (кв. Ед. ) 

Данный правильный 6-иугольник  состоит из 6 правильных треугольников со стороной а.       S = 6*[a^2 *(кор3)/4] = 64.

Новый 6-иугольник также будет правильным, но со стороной b, равной апофеме исходного 6-иугольника:

b = a(кор3)/2.

Его площадь:

S1 = 6*[b^2 *(кор3)/4] = (3/4)*6*[a^2 *(кор3)/4] = (3/4)*S = 48.

Ответ: 48