В системе координат даны точки: A(2;8), B(5;1), C(-7;-3), D(-2;4).
а) Найдите проекцию точки B на прямую AC
б) Найдите угол между векторами a=2AC-BD и b=BC+3DA

Решение:

а) Найдем уравнение прямой АС:

у = кх+b.  Подставим координаты точек А и С:

2к+b = 8

-7k+b = -3.   Вычтем из первого - второе:

9к = 11,   к = 11/9,  b = 50/9

Итак уравнение прямой АС:  у = 11х/9  +  50/9              (1)

Угловой коэффициент нормали к прямой АС = - 1/к = -9/11

Уравнение перпендикулярной к АС прямой:

у = (-9/11)х + с.   Найдем с, подставив в ур. Координаты точки В(5;1):

с - (45/11) = 1,   с = 56/11.

Итак уравнение нормали, проходящей через точку В:

у = (-9/11)х +  56/11.                                                    (2)

Найдем точку пересечения этих прямых:

11х/9  +  50/9  = (-9/11)х +  56/11.  

121х + 550 = -81х + 504

202х = - 46.

х = - 23/101

у = 533/101

Ответ: ( - 23/101;  533/101 )

Решаем задание б. Извините, стрелочку над векторами ставить не буду.

АС=(-7-2;-3-8)=(-9;-11)

2AC=2(-9;-11)=(-18;-22)

BD=(-2-5;4-1)=(-7;3)

2AC-BD=(-18+7;-22-3)=(-11;-25)

a=(-11;-25) 

BC=(-7-5;-3-1)=(-12;-4)

DA=(2+2;8-4)=(4;4)

3DA=3(4;4)=(12;12)

BC+3DA=(-12+12;-4+12)=(0;8)

b=(0;8) 

\( |a| = \sqrt{121+625} = \sqrt{746} = 27,313 \) 

\( |b| = \sqrt{0+64} = 8 \) 

\( cos \alpha = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{-11 \cdot 0 + (-25) \cdot 8}{27,313 \cdot 8} = -\frac{25}{27,313} \approx 0,9153 \) 

α≈24° 

Ответ. ≈24°