В системе координат даны точки А(-3;-5), В(2;2) и С(5;-7). А) Найдите координаты проекции точки А на прямую ВС. Б) На прямой АВ найдите такую точку М, что |СМ * АВ| = 122. (В пункте б СМ, АВ - векторы)

Решение:

а) Находим уравнение прямой ВС:

у = кх+b    Подставим сюда координаты точек В и С, составим систему и найдем k и b:

5k + b = -7                  b=-7-5k = 8

2k+ b = 2                  3k = -9   k = -3           

Получили уравнение: у = -3x + 8

Опускаем перпендикуляр из А на ВС, получим точку К -проекция А на ВС.

Прямая АК имеет угловой коэффициент: -1/k = 1/3

Значит ее уравнение имеет вид:

у = x/3  +b. Подставим координаты точки А:

-1 + b = -5        b = -4   Уравнение АК: у = х/3  - 4

Ищем координаты точки пересечения АК и ВС: (это и есть искомая проекция)

-3х+8 = х/3  - 4   10х/3 = 12   х = 3,6   у = -10,8 + 8 = -2,8.

Ответ: (3,6; -2,8).

б) Вектор АВ: (2+3; 2+5):(5;7)  Пусть М(х; у).

Тогда вектор СМ:((х-5); (у+7))

Скалярное произведение (СМ*АВ) = 5(х-5) + 7(у+7) = 122

С другой стороны точка М принадлежит АВ. Найдем уравнение АВ:

у = kx+b

-3k+b=-5             b = -5+3k = -4/5

2k+b=2             5k=7    k = 7/5

Уранение АВ: у = 7х/5  - 4/5 - вот и еще уравнение для нахождения координат точки М. Получили систему:

5(х-5) + 7(у+7) = 122           5х + 7у = 98 |*5        25х + 35у = 490

у = 7х/5  - 4/5                    5у - 7х = -4  |*(-7)     49х - 35у = 28

74х = 518   x = 7    7у = 98 - 35 = 63    у = 9

Ответ: М(7; 9).