Точка О является центром правильного двенадцатиугольника А1А2. А12 площадь треугольника А1ОА9 равна 2корня из 3. Найдите площадь треугольника А1А6А7.

Решение:

Треугольник А1ОА9 - равнобедренный с углом при вершине 120о, поэтому при радиусе окружности R  его площадь равна

R^2 * sin 120o / 2 = R^2 * корень(3) / 4

В данном случае она составляет  2 * корень(3), поэтому 

R^2 / 4 = 2,  откуда  R = корень(8)

В треугольнике А1А6А7 сторона А1А7 - диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). Сторону А1А6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона - радиус, а угол при вершине 150о.

А1А6^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos 150o = 2 * R^2 - 2 * R^2 * (-корень(3)/2) = 

R^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3))

Итак, А1А6 = корень(8 * (2 + корень(3)))

          А1А7 = 2 * корень(8)

sin 15o = корень ((1 - cos30o)/2) = корень ((1 - корень(3)/2)/2)=

корень(2-корень(3))/2

Таким образом, искомая площадь

S = A1А6 * А1А7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень (3))) * 2 * корень(8) * корень (2 - корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4