Найти центральный угол и радиус описанной окружности правильного многоугольника, сторона которого равна 10 см а радиус вписанной в него окружности 5 корень из 3 см

Решение:

Сторона правильного n-угольника равна a = 2Rsin(180°/n), откуда R = a/2sin(180°/n)
Радиус вписанной окружности равен r = Rcos(180°/n), откуда R = r/cos(180°/n). Приравняем эти два равенства:
a/2sin(180°/n) = r/cos(180°/n)
10/2sin(180°/n) = √3/(cos/180°/n)
5/sin(180°/n) = 5√3(cos180°/n)
5sin(180°/n) = 5√3cos(180°/n)
sin(180°/n) = √3cos(180°/n)
Это равенства выполняется тогда, когда cosA = 1/2, sinA = √3/2. Тогда угол правильного многоугольника равен 60° => данный многоугольник - треугольник.
Центральный угол будет равен 1/3•360° = 120° (т.к. Отрезки, соединяющие центр описанной окружности с вершинами, будут равны и образовывать равные между собой углы).
Радиус описанной окружности тогда равен R = 10/2•√3/2 = 10√3 см.
Ответ: R = 10√3 см, центральный угол = 120°.