Принадлежит ли точка М(3;2;-1) сфере, уравнение которой \( x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z-2=0 \)'? '.mb_convert_case('и', MB_CASE_TITLE, 'UTF-8') Составьте уравнение сферы с диаметром АВ, если А(-2;1;4), В(0;3;2)

Решение:

1. Нет, не принадлежит. Подставив в уравнение сферы координаты точки М, не получим 0.

2. Найдём координаты центра сферы, т.е. Середину диаметра.

 это точка О (-1;2;3)

3. Найдём радиус сферы:

  это длина диаметра, поделённая пополам.

  R=1/2*sqrt(12)=sqrt(3) //корень из трёх 

Уравнение сферы с центром в точке О :

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 3

1. Подставим координаты точки и проверим, получится ли тождество:

9+4+1-6+8+6-2 = 20 не равно 0.

Точка М не принадлежит сфере.

2. Найдем координаты центра сферы:

О ((-2+0)/2; (1+3)/2; (4+2)/2) или (-1; 2; 3)

Определим  квадрат радиуса:

R^2 = (0+1)^2 + (3-2)^2 + (2-3)^2 = 3

Тогда уравнение сферы:

\( (x+1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=3 \)

Даны точки А(2;-5;8) В(8;-2;5) С(5;-8:2)и Д(-2;-8;-5). Составьте уравнение сферы, если известно, что эти точки лежат на её поверхности

Уравнение сферы с центром в точке (x0; y0; z0) и радиусом R  записывантся так

(X-x0)^2 + (Y-y0)^2 + (Z-z0)^2 = R^2

нам неизвестны x0; y0; z0 и R  и у нас есть 4 точки через которые проходит сфера 

подставляя координатв этих точек в уравнение получим 4 уравнения

 А(2;-5;8)  ===>   (2-x0)^2 + (-5-y0)^2 + (8-z0)^2 = R^2

В(8;-2;5)  ===>   (8-x0)^2 + (-2-y0)^2 + (5-z0)^2 = R^2

С(5;-8:2))  ===> (5-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (2-z0)^2 = R^2

Д(-2;-8;-5) ===> (-2-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (-5-z0)^2 = R^2

подставим R^2 из последнего в первые 3

(2-x0)^2 + (-5-y0)^2 + (8-z0)^2 = (-2-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (-5-z0)^2

(8-x0)^2 + (-2-y0)^2 + (5-z0)^2 = (-2-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (-5-z0)^2

(5-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (2-z0)^2 = (-2-x0)^2 + (-8-y0)^2 + (-5-z0)^2

переносим нелево и раскладываем как разность квадратов

(2-x0)^2 -(-2-x0)^2 =  ((2-x0) - (-2-x0)) * ((2-x0) + (-2-x0)) = 4*(-2x0) = -8x0

(-5-y0)^2 - (-8-y0)^2 = ((-5-y0) - (-8-y0)) * ((-5-y0) + (-8-y0)) =3*(-13-2y0) =-39 -6y0

(8-z0)^2  - (-5-z0)^2= ((8-z0) - (-5-z0)) * ((8-z0) + (-5-z0)) = 13*(3-2z0) = 39 - 26z0

первое уравнение станет таким

-8x0 + (-39 -6y0) + (39 - 26z0) = -8x0 -6y0 - 26z0 =0

(8-x0)^2 - (-2-x0)^2 = ((8-x0) - (-2-x0)) * ((8-x0) + (-2-x0)) =10*(6-2x0) = 60 - 20x0

(-2-y0)^2 -(-8-y0)^2 = ((-2-y0) - (-8-y0)) * ((-2-y0) + (-8-y0)) = 6*(-10-2y0) = -60 -12y0

(5-z0)^2 - (-5-z0)^2 = ((5-z0) - (-5-z0)) * ((5-z0) + (-5-z0)) =10*(-2z0) = -20z0

второе уравнение станет таким

60 - 20x0 + (-60 -12y0) + (-20z0) = -20x0 -12y0 - 20z0 =0

 

(5-x0)^2 - (-2-x0)^2 = ((5-x0) - (-2-x0)) * ((5-x0) + (-2-x0)) = 9*(3-2x0) = 27 - 18x0

(-8-y0)^2 - (-8-y0)^2 = ((-8-y0) - (-8-y0)) * ((-8-y0) + (-8-y0)) = 0*(-16-2y0) = 0

(2-z0)^2 - (-5-z0)^2 = ((2-z0) - (-5-z0)) * ((2-z0) + (-5-z0)) = 7*(-3-2z0) = -21-14z0

третье уравнение станет таким

27 - 18x0 + (-21-*14z0) =  -18x0 + 0 - 14z0 +6 =0

получили 3 уравнения

   -8x0 -  6y0 - 26z0 =0

-20x0 -12y0 - 20z0 =0

-18x0 + 0     - 14z0 = -6

возмем 1-вое и умножим на 2 и вычтем из него второе  уравнение, получим

   -16x0+20x0  -12y0+12y0  -52z0+20z0 =0  ==>     4x0 - 32z0 =0

припишем 3 уравнение  -> -18x0 - 14z0 = -6             

первое их написанных  умножим на  9, а второе на 2 и сложим

9*4x0 - 2*18x0  - 9*32z0 - 2*14z0 = -12  ==> (-288-28)z0=-12  ==> z0=12/316=3/79

4x0 - 32z0 =0  ==> 4x0 = 32z0 =32*3/79  ==> x0 = 32*3/79/4 =8*3/79=24/79

  -8x0 -6y0 - 26z0 =0  ==> 6y0 =-8x0  - 26z0 = -8*24/79  - 26*3/79 = (-192-78)/79=-270/79  ==> y0 =-270/79/6 =-45/79   = R^2 = (2-x0)^2 + (-5-y0)^2 + (8-z0)^2  подставьте найденные значения и найдете R

Точка А(4:-2:3) лежит на сфере с центром в точке С(2:-3:-1). Составьте уравнение сферы.

1. Вычислим расстояние от центра сферы до точки на самой сфере.
\( d=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21} \)
Теперь, учитывая форму общего уравнения сферы в пространстве, запишем уравнение:
\( (x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z+1)^{2}=21 \)

Точки A(3;-2;4) и B(-5;6;-4) лежат на сфере. Центр сферы принадлежит отрезку AB. Определите уравнение сферы

Т.к. центр лежит на АВ, значит АВ - диаметр, а О - середина этого отрезка, тогда ее координаты равны полусумме соответствующих координат А и В.
О((3-5)/2, (-2+6)/2,  (4-4)/2)
Значит координаты О(-1,2,0)
\( R=AO= \sqrt{(3-(-1))^2+(-2-2)^2+(4-0)^2} =4 \sqrt{3} \)
уравнение сферы \( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 \)
где \( (x_0,y_0,z_0) \)-координаты центра
значит уравнение сферы
 \( (x+1)^2+(y-2)^2+z^2=48 \)

Сфера с центром в точке O( 0;1;-2) проходит через точку А(-3;1;2)
а) Составьте уравнение сферы
б) Найдите координаты точек оси абсцисс, принадлежащих данной сфере.

Найдем радиус сферы как расстояние от точки О до точки А =\( \sqrt{(-3-0)^2+(1-1)^2+(2-(-2))^2} = \sqrt{9+16} =5 \). Радиус равен пяти, значит можем составить уравнение сферы: \( x^2+(y-1)^2+(z-(-2))^2=5^2 => x^2+(y-1)^2+(z+2)^2=25 \).
Чтобы найти координаты точек оси абсцисс (оси Ох), принадлежащих данной сфере нам надо положить у=0 и z=0, тогда: \( x^2+(0-1)^2+(0+2)^2=25 => x^2+1+4=25 => x^2=25-5=20 \), тогда  \( x_{1} = \sqrt{20} =2 \sqrt{5}, x_{2} =- \sqrt{20} =-2 \sqrt{5}. \) Значит, координаты точек будут: \( ( 2 \sqrt{5};0;0), (-2 \sqrt{5};0;0)\)

Вычислить площадь сферы и объём шара радиуса 2√5 см. Составить уравнение сферы, если координаты центра равны ( -5; 2/7; 1)

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат выглядит так:
\( (x-x_{0})^{2} + (y-y_{0})^{2} + (z-z_{0})^{2} =R^{2} \), где
\( (x_{0};y_{0}; z_{0}) \) — координаты центра сферы, а \( R \) — её радиуc.
Площадь сферы: \( S=4 \pi R^{2} \)
Объём шара: \( V=\frac{4}{3} \pi R^{3} \)
1) Уравнение сферы: \( (x-(-5))^{2} + (y-\frac{2}{7})^{2} + (z-1)^{2} =(2\sqrt{2})^{2} \)
упрощаем - \( (x+5)^{2} + (y-\frac{2}{7})^{2} + (z-1)^{2} =20 \)
2) Площадь сферы: \( S=4 \pi \cdot (2\sqrt{2})^{2} =4 \pi \cdot 20= 80 \pi \)
3) Объём шара: \( V=\frac{4}{3} \pi \cdot (2\sqrt{2})^{3} = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 \cdot 5\sqrt{5}=\frac{160\sqrt{5} \pi}{3} \)

Точки A(2;4;5) и B(8;2;7) являются диаметрально противоположными точками сферы. Найдите уравнение сферы

\( d=\sqrt{(2-8)^2+(4-2)^2+(5-7)^2}= \sqrt{36+4+4}= 2\sqrt{11} \)
\( R=\sqrt{11} \)
координаты вектора AB={8-2;2-4;7-5}={6;-2;2},
O(x₀;y₀;z₀)=O(3;-1;1)- центр сферы
Уравнение сферы: (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²
(x-3)²+(y+1)²+(z-1)²=(√11)²
(x-3)²+(y+1)²+(z-1)²=11
x²-6x+9+y²+2y+1+z²-2z+1-11=0
x²+y²+z²-6x+2y-2z=0

Точка А (0, √2, √5) лежит на сфере с центром О (3,0,0)
а) Запишите уравнение сферы
б) Принадлежат ли сфере точки с координатами (5,0, 2√3) и (4,1, 0)

Точка \( A(0; \sqrt{2} ; \sqrt{5} ) \) лежит на  сфере с центром в точке \( O(3;0;0) \). 
а) Запишите уравнение сферы
б) Принадлежат ли сфере точки с координатами \( (5;0;2 \sqrt{3}) \) и \( (4;-1;0) \)
a)
Запишем  уравнение сферы в общем виде:
\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 \), где 
\( (x_0;y_0;z_0) - \) координаты центра сферы, а R - её радиус
 \( O(3;0;0) \)
\( (x-3)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=R^2 \)
\( (x-3)^2+y^2+z^2=R^2 \)    (1)
Точка A лежит на  сфере, т.е. Ее координаты удовлетворяют заданному уравнению:
\( (0-3)^2+( \sqrt{2} )^2+( \sqrt{5} )^2=R^2 \)
\( R^2=16 \)
Подставим в (1) :
\( (x-3)^2+y^2+z^2=16 \) - уравнение сферы
б)
\( (5;0;2 \sqrt{3}) \)
\( (5-3)^2+0^2+(2 \sqrt{3} )^2=16 \)
\( 4+0+12=16 \) - верно
 принадлежит

\( (4;-1;0) \)
\( (4-3)^2+(-1)^2+0^2=16 \)
\( 1+1+0 \neq 16 \) 
не принадлежит