В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ Через середину М этой хорды проходит прямая, пересекающая окружность в точках С и Е. Известно, что СМ=9 см, угол АСВ=30 градусов. Найдите длину отрезка СЕ.

Решение:
   В рисунке проведем еще радиусы ОА и ОВ. Так как угол АСВ = 30град, центральный угол АОВ = 60 град. То есть треуг ОАВ - равносторонний и АВ = 6, АМ = МВ = 3. Теперь по свойству пересекающихся хорд: АМ*МВ = СМ*МЕ.  3*3 = 9*МЕ. Отсюда МЕ = 1.   Значит СЕ = СМ + МЕ = 9+1=10
Ответ: 10 см.

Пусть точка О-центр окружности. Угол АСВ-вписанный угол опирающийся на дугу АВ, значит он равен 1/2 дуги ВС, следовательно градусная мера дуги ВС=2*АСВ=2*30=60*. Угол АОВ - центральный опирающийся на дугу АВ, значит он равен градусной мере дуги АВ, т.е. угол АОВ=60*. Треугольник АОВ - равнобедренный (АО=ОВ-как радиусы), значит угол ОАВ= углу ОВА=(180-60):2=60*, следовательно треугольник АОВ и равносторонний, значит АВ=ОВ=6см.  Тогда АМ=МВ=6:2=3см.  По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем: МЕ= (АМ*МВ):МС=3*3:9=1см. Значит СЕ=9+1=10см.