Известно, что в шестиугольнике A1A2A3A4A5A6A1A2A3A4A5A6 все углы равны. Найдите длину отрезка A1A6A1A6, если длины отрезков A2A3A2A3, A3A4A3A4 и A5A6A5A6 равны 5, 4 и 8 соответственно.

Решение:

Так как все углы данного шестиугольника равны, он - выпуклый.  

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле N=180°•(n-2), где n- количество  его вершин.

N=180°•(6-2)=720°

Каждый из равных углов равен 720°:6=120° 

Продлим стороны А1А2 и А4А2 до пересечения в точке В,  и стороны А4А5 и А1А6 до пересечения в точке С.

  Внешние углы  при внутренних, равных 120°, равны 180°-120°=60°.

Тогда углы в ∆ А2ВА3 и ∆ А5СА6 - равны 60°,  стороны ∆ А2ВА3 равны 5, стороны ∆ А5СА6 равны 8.

Внешний угол при вершине В=внутреннему углу А1=120° 

Эти углы соответственные. Из равенства соответственных углов следует параллельность А4В║А1С.

 Внешний угол при вершине В=внутреннему углу А4=120°.

Эти углы соответственные, из чего следует параллельность ВА1║А4С.

⇒ В четырехугольнике ВА4СА1 противоположные стороны параллельны. ВА4СА1 - параллелограмм, ⇒его противоположные стороны равны. Следовательно, ВА4=5+4=9

А1С=ВА4=9.

Сторона  А1А6=9-А6С=9-8=1