Постройте сечение параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки A C M, где М середина ребра A1 D1

Решение:

Способ а) 

Через две точки можно провести прямую, притом только одну. 

Две точки А и М принадлежат одновременно двум плоскостям: плоскости грани и секущей плоскости. ⇒ АМ - линия их пересечения.  

Аналогично точки А и С принадлежат грани параллелепипеда и секущей плоскости.  ⇒ АС - линия их пересечения.  

Плоскости А1D1DA  и  D1C1CD пересекаются по ребру DD1

Продлим АМ и DD1 до их пересечения в точке Е.  

Точки Е и С лежат одновременно в двух плоскостях, ⇒ ЕС - линия их пересечения, которая пересекает ребро D1C1 в точке К.    

МК - линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием параллелепипеда. КС - линия пересечения секущей плоскости с боковой гранью D1C1CD. Трапеция МАКС - искомое сечение.  

Способ б) 

Противоположные  грани  параллелепипеда – равные параллелограммы и  лежат в параллельных плоскостях.

Точки А и М лежат одновременно в двух плоскостях: АДД1А1 и в секущей плоскости.  Значит МА - линия пересечения этих двух плоскостей.  

Точки А и С лежат одновременно в двух плоскостях  - АВСD и плоскости сечения. Значит, АС - линия их пересечения.  

По свойству параллельных  плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.  

 Отсюда линия пересечения MM1 искомой плоскости на верхнем основании параллелепипеда параллельна АС и проходит через середины ребер А1D1  и  C1D1. Соединив К и С, получим искомое сечение - трапецию АМКС