Дано:A(0;2;2).B(0;4;9),C(0;6;2)
1) Определить вид треугольника ABC
2) Найти BM-высоту треугольника ABC (M-середина AC)

Решение:
2) сразу М (0;4;2), коорд вектора ВМ (0;0;-7)  длина ВМ равна 7
1) Векторы АВ (0;2;7) , АС (0;4;0)  угол между ними = arccos ((AB,AC)/(|AB|*|AC|)) (АВ,АС) - скалярное произведение, под арккосинусом нет модуля, т.к. нас интересует не тупой ли это угол. (АВ,АС) = 0*0 + 2*4 + 7*0 = 8 Тогда косинус угла больше нуля, следовательно, угол острый
Аналогично для угла между АВ и ВС (0;2;-7) (АВ,ВС) =0*0+2*2+7*(-7) < 0 => треугольник тупоугольный с тупым углом В. Более того, он равнобедренный, т.к. длины векторов АВ и ВС равны.

1. Определяем вид треугольника по сторонам (разносторонний, равнобедренный или равносторонний). Для этого находим расстояние между точками АиВ, ВиС, АиС (т.е., длины сторон треугольника) по формуле. $$ d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \\ AB = \sqrt {(0-0)^2 + (4-2)^2 + (9-2)^2} = \sqrt {4+49} = \sqrt {53} \\ BC = \sqrt {(0-0)^2 + (6-4)^2 + (2-9)^2} = \sqrt {4+49} = \sqrt {53} \\ AC = \sqrt {(0-0)^2 + (6-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt {16} = 4 $$ Видим, что две стороны равны. Значит, треугольник АВС является равнобедренным.
Определяем вид треугольника по углам (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный). Прямоугольный и тупоугольный треугольники имеют по одному прямому или тупому углу соответственно. Поэтому, если они есть у данного треугольника, то они не могут быть у его основания, так как углы у основания равнобедренного треугольника равны. Также они не могут лежать и напротив основания АС, так как больший угол должен лежать напротив большей стороны, а АС<АВ. Значит, треугольник АВС является остроугольным.
2. Находим координаты точки М - середины АС, используя формулы. $$ x = \frac {x_1 + x_2} {2} \\ y = \frac {y_1 + y_2} {2} \\ z = \frac {z_1 + z_2} {2} \\ x = \frac {0 + 0} {2} = 0 \\ y = \frac {2 + 6} {2} = 4 \\ z = \frac {2 + 2} {2} = 2 $$ M (0; 4; 2) 
По формуле $$ d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ находим длину высоты ВМ.  $$ BM = \sqrt {(0-0)^2 + (4-4)^2 + (2-9)^2} = \sqrt {49} = 7$$  
Ответ. Треугольник АВС является равнобедренным остроугольным, ВМ = 7.