Ромбе с диагоналями 16см и 12см найти радиус вписанной в него окружности

Решение:
r=d1*d2/(4a), где d1 и d2 - диагонали ромба       a - сторона       a^2=(d1/2)^2+(d2/2)^2       a^2=(12/2)^2+(16/2)^2=6^2+8^2=36+64=100       a=sqrt(100)=10 - сторона ромба, тогда       r=12*16/(4*10)= 192/40=4,8

Пусть АВСD - данный ромб. АС = 16 см, ВD = 12 см. О - точка пересечения диагоналей и центр вписанной окружности. 1. Из треугольника АОВ находим сторону ромба. АО = ½ АС = 8 см, ВО = ½ ВD = 6 см - (свойство диагоналей параллелограма). АВ² = АО²+ВО² - (теорема Пифагора) АВ = 10 см 2. В точку касания окружности к стороне АВ (обозначим ее К) проводим радиус ОК.  ОК перпендикулярно АВ. 3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АКО и ВКО. По теореме Пифагора: ОК² = АО² - АК²  ОК² = ВО² - КВ² 4. Приравниваем правые части полученных равенств, так как левые равны. АО² - АК² = ВО² - КВ²   Пусть АК = х, тогда КВ = 10 -х. Имеем: 64 - х² = 36 - (10 - х)² 64 - х² - 36 + 100 - 20х + х² = 0 20х = 128 х = 6,4  АК =  6,4 см. 5. Из равенства  ОК² = АО² - АК² находим радиус. ОК² = 64 - 40,96 = 23,04 ОК = 4,8 см. Ответ. 4,8 см.