Площадь правильного прямоугольника равна 64. Найти площадь шестиугольника полученнного последовательным соединением середин его сторон

Решение:
Площадь полученного шестиугольника будет меньше площади данного шестиугольника на шесть площадей равных равнобедренных треугольников. У этих треугольников боковые стороны равны ½ стороны данного шестиугольника, а угол между ними равен 120⁰. SΔ= ½ ab · sin γ S = ½ · ¼a² · (√3)/2 = $$ \frac{\sqrt{3}a^2}{16} $$ (кв.ед.) Из формулы площади шестиугольника S=$$ \frac{3 \sqrt{3} a^2}{2} $$ выражаем сторону а: $$ a^2 = \frac{2S}{3 \sqrt{3}} $$  $$ a^2 = \frac{128}{3 \sqrt{3}} $$ Подставляя в формулу площади треугольника, находим, что SΔ = 8/3 кв.ед. 6SΔ = 16 кв.ед. Площадь полученного шестиугольника равна 64-16=48 (кв.ед.) 
 

Данный правильный 6-и угольник (а не прямоугольник!) состоит из 6 правильных треугольников со стороной а. S = 6*[a^2 *(кор3)/4] = 64. Новый 6-иугольник также будет правильным, но со стороной b, равной апофеме исходного 6-иугольника: b = a(кор3)/2. Его площадь: S1 = 6*[b^2 *(кор3)/4] = (3/4)*6*[a^2 *(кор3)/4] = (3/4)*S = 48. Ответ: 48