Найдите число сторон правильного многоугольника, внешний угол которого равен 20 градусов.

Решение:

Сумма внешнего и внутреннего угла равна 180 градусов.

Значит, внутренний угол равен 180-20=160 градусов. Пусть он будет А.

Соедини 2 соседние вершины этого многоугольника (произвольного) с центром(будет угол О). Получился равнобедренный треугольник, в котором углы у основания (стороны многоугольника) равны А/2=80 градусов.

По теормеме о сумме уголов треугольника:

угол О = 180-(80+80)=20 градусов

n=360/О= 360/20 = 18.

это восемнадцатиугольник

В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник, площадь которого больше 2R^2, а длина каждой стороны больше R. Найдите число сторон многоугольника.

Если длина стороны больше R, то n <6.

Если n = 4, то a = Rкор2, S = a^2 = 2R^2

Но по условию S > 2R^2.

Значит - это правильный 5-угольник.

n = 5

Это могут быть только или четырехугольник, или пятиугольник, т.к. Только у них выполняется условие, что длина каждой стороны больше R.

Теперь проверим площади:

четырехугольник - S=а²

а=√2R 

S=2R²

А площадь должна быть больше 2R². 

Четырехугольник не подходит. Значит, это пятиугольник.

Ответ. 5

В некотором многоугольнике можно провести 20 диагоналей. Найдите число сторон этого многоугольника

Количество диагоналей N у многоугольника легко вычислить по формуле:

N = n·(n – 3)/2, где n — число вершин многоугольника,

тогда 20 = n·(n – 3)/2,

40 = n·(n – 3),

n² - 3n -40 = 0 

n₁ =-5 ( не подходит по смыслу задачи)

n₂ = 8.

Ответ: 8 сторон

Найдите число сторон выпуклого многоугольника, у которого 14 диагоналей.

d=n-3

14=n-3

n=11

2.

Δ=n-2

Число диагоналей n-угольника определяется по формуле

d=(n-3)n:2
По условию d=14.
2d=(n-3)n
28=n²-3n
n²-3n-28=0
D=b²-4ac=-32-4·1·-28=121
Уравнение имеет два корня 7 и -4( не подходит)
Число сторон 7

Сумма углов выпуклого многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника S = 180*(n-2). Если внутренний угол =, например, a - тогда внешний к нему угол = 180 - a => сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине = 180 - a + 180 - b + 180 - c. И так n слагаемых = n * 180 - S

По условию 2 * S = n * 180 - S => 3*S = n*180 => S = 60 * n => 180 * n - 360 = 60 * n

120 * n = 360 => n = 3

Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 150 градусов. Найдите число сторон многоугольника а) 9; б) 14; в) 12; г) 15

1) т.к. все углы в прав. мн-ке равны, то их сумма равна N*150, где N - кол-во углов;2) С другой стороны, сумма углов любого мн-ка равна 180*( N-2), тогда получим уравнение N*150 = 180*(N-2)
N*150 =180*N-360 
360 = 30* N          
 N = 360:30=12Ответ: 12. 

Внешний угол=30
кол-во сторон это 360 деленое на внешний угол
360\30=12

Вычислите число сторон выпуклого многоугольника, у которого равны все его внутренние углы, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468 градусов

Сумма внешних углов=360, внутренний угол=468-360=108, внутренний угол=(количество сторон-2)*180/количество сторон, 108=(n-2)*180/n, 108n=180n-360, n=5 -количество сторон

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов, значит 1 его внутренний угол равен 468-360=108 градусов.
(х-2)·180=108х
180х-360=108х
180х-108х=360
72х=360
х=360:72
х=5
Это  пятиугольник, у него 5 сторон

Внешний угол правильного многоугольника на 144 градуса меньше внутреннего угла. Найдите число сторон данного многоугольника.

Внешний угол+внутренний угол=180 градусов
 Пусть х-внутренний угол, тогда внешний угол равен х-144
х+х-144=180
2х=324
х=162
сумма углов многоугольника равно 180(n-2), где n-число сторон многоугольника
многоугольник правильный, а значит все его углы равны между собой, следовательно один угол равен \( \frac{180(n-2)}{n} \)
180(n-2)/n=162
180n-360=162n
18n=360
n=20
Ответ:20

Внешний угол правильного многоугольника на 100 градусов меньше его внутреннего угла. Найдите число сторон этого многоугольника

Пусть внешний угол равен х градусов, тогда внутренний угол (смежный с внешним) равен 100+х градусов.

Имеем х+100+х=180

2х=180-100

х=40

Угол многоугольника равен 140 градусов.

Сумма углов многоугольника вычисляется по формуле 180*(n-2), где n - число сторон (или углов).

Тогда 180 (n-2)=140n

180n-360=140n

180n-140n=360

40n=360

n=9

Ответ: число сторон многоугольника -9