Сколько вершин имеет правильный многоугольник если величина каждого внешнего угла равна 36; 24 градусов

Решение:

Сумма внешних углов в многоугольника равна 360 градусов, следовательно если величина 36 градусов, то вершин будет 10 (360:36)

Если величина 24 градуса, то вершин будет  15 (360:24)

Внешними углами называют углы, смежные с внутренними углами многоугольника. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна \( 360^0 \).

\( n=360^0:36^0=10 \) вершин

\( n=360^0:24^0=15 \) вершин

Сумма внутренних углов много угольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 градусов.  
Так как сумма внутренних углов многоугольника в два раза меньше, то эта сумма 360:2=180 градусов. 
Сумма внутренних углов многоугольника
180(n-2)
180(n-2)=180
Отсюда n=3
Искомая фигура - треугольник.  

---

S = 180*(n-2) - где  S -сумма внутренних углов многоугольника,
   n - количество его вершин
S₁ = 180*n - 180*(n-2) = 360° - сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине.
Так как S₁ = 2S, то:  360 = 2*180(n - 2)  =>  n = 3
Ответ: многоугольник имеет 3 вершины, т.е. это треугольник

Сколько вершин у многоугольника с 65 диагоналями?

Пусть n — число вершин многоугольника.  
Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и себя самой => из одной вершины можно провести n-3 диагонали => из всех вершин можно провести n*(n-3) диагоналей. Но каждая диагональ взята дважды (по разу для каждого конца) => кол-во диагоналей в многоугольнике = \( \frac{n*(n-3)}{2} \) => если у многоугольника 65 диагоналей, то: \( \frac{n*(n-3)}{2} =65 => n^{2} -3n=130 => n^{2} -3n-130=0 => n_{1}=13, n_{2}=-10 \)
Кол-во вершин не может быть отрицательным => n=13 
Ответ: 13 вершин

Сколько вершин у выпуклого многоугольника, у которого три угла по 80°, а остальные по 150°

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам. Внешний угол является смежным к углу многоугольника, например, если угол равен 80 градусам, то внешний угол равен 180-80=100 градусам. Таким образом, 3 внешних угла многоугольника равны 100 градусам, а остальные равны 180-150=30 градусам. Сумма остальных углов равна 360-3*100=60 градусам, значит, этих углов 60\30=2. То есть, у многоугольника 3 вершины с углами 80 градусов и 2 вершины с углами 150 градусов, это пятиугольник.