В трапецию ABCD можно вписать окружность. Известно, что AD=8, угол A=90*, угол D=60*. Найдите S(ABCD)

Решение:
Пусть АВ = h,  проведем еще высоту СК = h. Тогда из пр. тр-ка CDK: СD = 2h/кор3, DK = h/кор3. AK = BC = 8 - (h/кор3). Если в трапецию можно вписать окр-ть, то суммы противоп. сторон равны. AD+BC = AB + CD   Или: 8 + 8 - (h/кор3) = h + (2h/кор3). Найдем h: h = (16кор3) / (3 + кор3). Теперь распишем площадь: S = (a+b)*h/2 = (8+8-(16/(3+кор3)) * (8кор3)/(3+кор3) h = 128(3+2кор3) / (3+кор3)^2 = 128(3+2кор3) / 6(2+кор3). Домножим и числитель и знаменатель на (2-кор3). h = 64(6+кор3  - 6)/3 = (64кор3)/3. Ответ: (64кор3) / 3

Проводим СК-высота. Рассмотрим треугольник СКД - прямоугольный. Пусть КД=х, тогда СД=2х (катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы). По теореме Пифагора: СК²=СД²-КД²                                    СК²=4х²-х²=3х²                                    СК=х√3  АВ=СК=х√3 
Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма основ равна сумме боковых сторон. Составляем уравнение. АВ+СД=ВС+АД х√3+2х=8-х+8 х=16/(√3+3)
Площадь трапеции S=1/2 (ВС+АД)·СК $$ S=\frac{(8-x+8)16 \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} + 3)} = \frac{64 \sqrt{3}}{3} $$
Ответ. 64√3 / 3