В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно 3. Боковые грани наклонены к основанию под углом 45 градус. Найдите объем пирамиды?

Решение:
Пусть SABCD - данная пирамида. О-центр основания. ОН перпенд. (SАВ) и равно 3. Угол SPO=45°(OP перпенд. АВ) 1. Находим ОР. Рассмотрим прямоугольный треугольник ОНР, угол ОНР=90°. Угол НОР=угол НРО = 45° НР=ОН=3 По теореме Пифагора: ОР²=НР²+ОН²=18 ОР=3√2  2. Находим высоту пирамиды SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOР, угол SOР=90°. Угол РSO=угол SРO=45°⇒ ΔSOР-равнобедренный. SO=OР=3√2 2. Находим сторону основы. ОР является радиусом вписанной окружности. Значит, r=AB/2. AB=2r=2·3√2=6√2 3. Находим площадь основания. S=a² S=(6√2)²=72 (кв.ед.) 4. Находим объём пирамиды. V=1/3 So h V=1/3·72·3√2 = 72√2 (куб.ед.) Ответ. 72√2 куб.ед. 

SABCD - прав. пирамида. Проведем SK перп CD, ОК - также перп CD. Проведем ОМ перп. SK/. ОМ = 3, Угол SKO = 45 град. Из тр. ОМК: ОК = ОМ/sin45 = 3кор2 Тогда сторона основания: а = 6кор2.  Sосн = a^2 = 72. Найдем высоту пирамиды: SO = OK tg45 = 3кор2. Объем пирамиды: V = Sосн*h/3 = 72кор2. Ответ: 72кор2