AD биссектриса треугольника ABC. Точка M лежит на стороне AB, причем AM = MD. Докажите, что
MD k AC.

Решение:
Если АМ = МD, то треугольник АМD - равнобедренный, и уголМАD = углу МDA, но угол МАD = углу DAC ( так как АМ - биссектриса). Значит угол МDA = DAC   - накрест лежащие углы равны. Значит по признаку параллельности: MD || AC.   Что и требовалось доказать.

Итак, т.к. AM=MD => треугольник AMD - равнобедренный. Т.е. угол MAD = углу MDA. Тогда угол MDA = углу DAC. Эти углы же накрест лежащие при прямых MD и AC и секущей AD. Если же накрест лежащие углы при пересечении прямых секущей равны, то прямые эти параллельны. Чтд.