Точки касания двух соседних сторон описанного многоугольника ограничивают в окружности радиуса 6 см дугу длиной 4п см. Найдите периметр многоугольника

Решение:

Если многоугольник произвольный (по числу сторон, к примеру), то решения у задачи нет - недостаточно условий. К примеру, возможен предельный случай "бесконечного" числа сторон, когда фигура ограничена 2 касательными и дугой окружности 240 градусов. Кстати, среди всех многоугольников, удовлетворяющих условию, такая фигура имеет минимальный периметр.

Если многоугольник правильный, то это - равносторонний треугольник, потому что дуга 4*pi в окружности радиуса 6 (то есть длинны 12*pi) соответствует центральному углу 120 градусов. Поэтому угол между сторонами 60 градусов. Высота равна 3 радиусам, то есть 18. Сторона равна 18/sin(60), а периметр, соответственно = 54/sin(60) = 36*корень(3) 

Сторона правильного вписанного многоугольника стягивает в окружности радиус 6 см дугу длиной 3π см. Найдите периметр многоугольника.

Длинна окружности = 2ПR. Значит длинна нашей окружности = 6 *2 П= 12П. 12П/ 3П =4.

фигура вписанная в окружность - квадрат(4 стороны).

Назовем его АВСК. Центр окружности назовем О. ОК=ОА=ОВ=ОС(радиус). Треугольник АОВ подобен ВОС подобен СОК подобен КОА( по 3 сторонам). При этом, эти треугольники ещё и равнобедренные по 2 сторонам. Угол ОВА = СВО = 90(угол квадрата)/2 = 45.  Угол ВАО = 45 = ОВА( равнобедренный треугольник). ВОА = 180 - 45 - 45 = 90.  Тренугольник ВОА прямоугольный.

Дальше считаем по теореме Пифагора. ВА в квадрате = ВО в квадрате +АО в квадрате.

ВА в квадрате = 6^2+ 6^2= 2* 36 =72.

ВА= корень из 72.

АВСК = 4 корня из 72.

Сторона правильного многоугольника равна 5 см, а его внутренний угол на 108 градусов больше внешнего. Найдите периметр многоугольника

Сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусов. Внутренний угол х, тогда по условию внешний (х-108). Получаем:
х+(х-108)=180
2х=288
х=144 градуса  величина внутреннего угла.
теперь другой угол (будет он y). Сумма всех внутренних углов правильного многоугольника равна 
180*(у-2)=у*144
36у=360
у=10.
Значит это десятиугольник.
Его периметр равен 5 х 10=50 см

Сторона правильного многоугольника равна 5 см, а его внутренний угол на 108 больше внешнего. Найдите периметр многоугольника

Внешний угол примем за Х, тогда внутренний угол выразиться как Х+108, т.к. Эти углы смежные. Отсюда,
Х+Х+108=180
2Х = 180 - 108
2Х = 72
Х = 36 - это градусная мера внешнего угла
Х + 108 = 36 + 108 = 144 - это градусная мера внутреннего угла
Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360  градусов, значит, 360 : 36 = 10 - это количество углов. И сторон, соответственно, тоже 10.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех его сторон, т.е. 5 * 10 = 50 (см)