Найдите стороны правильного пятиугольника, если его диагонали равны 4 см.

Решение:

а - сторона пятиугольника; d - диагональ 

Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \), тогда

\( \frac{4}{a} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) 

тогда \( a = \frac{8}{1+\sqrt{5}} \) 

Сумма внутренних углов пятиугольника равна 3П.

a=2/sin(3П/10)=2*(√(5)-1)

sin(3П/10)=(√(5)+1)/4

ответ

а=2*(√(5)-1)

---

Пусть дан пятиугольник ABCDE. Рассмотрим треугольник ACE. В нем AC=CE=4. Диагонали AC и CE делят угол C на 3 равные части. Так как угол правильного пятиугольника равен 108 градусам, угол ACE равен 36 градусам. Треугольник ACE равнобедренный с основанием AE. Проведем высоту CH, тогда в прямоугольном треугольнике ACH можно найти AH, AH=AC*sinACH. Угол ACH равен 36/2=18 градусам, тогда AH=4*sin18, а AE=2AH=8sin18. sin18=(√(5)-1)/4, тогда AE=2√(5)-2.