В прямоугольник ABCD, в которой AB=3 см, AD=4 см. Пусть A’B’C’D’ - образ данного прямоугольника при осевой симметрии относительно прямой AC; A"B"C"D" - образ данного прямоугольника при параллельном переносе на вектор CA. Найдите: a) S(ABCD \(\cap\) A’B’C’D’); б) D’D"?

Решение:
a)Направим ось Х по стороне AD ,  ось У - по стороне АВ. Тогда координаты вершин: А(0;0), В(0; 3), С(4; 3), D(4; 0). При отображении относительно АС, точки А и С останутся на месте, а точки в и D отобразятся в точки B’ и D’.Фигура и ее площадь при осевой симметрии не изменились, изменилась только ориентация прямоугольника.Пусть К - точка пересечения AD’ и BC, М - точка пересечения AD и CB’. Тогда искомая площадь пересечения областей ABCD и AB’CD’ - параллелограмм AKCM. S(AKCM) = 3*4 - 2S(CKD’). Найдем координаты точки D’. Уравнение прямой АС:  У = 3х/4 Тогда уравнение прямой DD’ (перпендикулярной к АС) имеет вид: у = -4х/3  + b. эта прямая проходит через точку D(4; 0). Найдем b: 0 = -16/3  +b     b = 16/3    у = -4х/3 + 16/3 Ищем пересечение прямых АС и DD’: 3х/4 = -4х/3 + 16/3   х = 64/25, у = 48/25 Эта точка - середина отрезка DD’. 64/25 = (х+4)/2,    48/25 = (0+у)/2 х = 28/25; у = 96/25    D’ (28/25; 96/25) Найдем уравнение прямой AD’: 96/25 = 28к/25    к = 96/28 = 24/7    AD’: у = 24х/7 Найдем координаты т. К - пересечения у=3  и  у = 24х/7 х = 7/8, у = 3 Тогда длина отрезка КС = 4 - 7/8 = 25/8 - основание тр-ка KD’C. Высота этого тр-ка: h = (96/25) - 3 = 21/25 Искомая площадь: S = 12 - 2*(KC*h/2) = 12 - 21/8 = 75/8 Ответ: 75/8 см^2. б)При параллельном переносе на вектор СА (-4; -3) точка D (4; 0) перейдет в точку D" (0; -3). Из п.а) координаты D’-  (28/25; 96/25) Тогда расстояние D’D" = кор( (28/25)^2 + (3 + 96/25)^2) = (кор1201) /5 (примерно 6,93 см) Ответ: (Кор1201)/5 (примерно 6,93 см).