Дан треугольник ABC, в котором AC=8, угол B=arccos(1/7), угол A=arccos(11/14). Найдите: а) \(O_{a}O_{c}\);
б) \( O_{c}O\)
если продолжить стороны треугольника то рисуем окружность, которая касается стороны и продолжений сторон. Оа это центр окружности касающийся сторона a, Ос соответственно со стороной с

Решение:
Сначала нужно решить сам тр-к АВС чтобы найти r- радиус вписанной в АВС окр-ти. (О - т. пересечения биссектрис). sinB = (4кор3)/7,  sinA = (5кор3)/14, угол С = 60 град. АВ = 7,  ВС = 5. Подробности опускаю. Все проделывается элементарно по т. синусов. АС = 8 - по условию. S(ABC) = (1/2)АС*ВС*sin60 = 10кор3. S(АВС) = pr = (8+5+7)r/2 = 10r. Значит r = кор3. Угол С/2 = 30 град. Из тр.OLC:  LC = r/tg30 = 3.   OC = 2r = 2кор3.   AL = 8-3 = 5. Тр. OPD подобен тр. OcEP. Угол PDO = EPOc = A + (C/2) = A + 30 OD = r/sin(A+30) = r/[sinA*cos30 + cosA*sin30] = (14кор3)/13, То есть sin(A+30) = 13/14 Тогда OcD= 14(Rc)/13. (Rc) - радиус окр-ти с центром Oc. Теперь гипотенуза большого тр-ка СFOc: СOc = OC + OD + OcD = 2кор3 + (14кор3)/13 + 14(Rc)/13. С другой стороны: COc = (Rc)/sin30 = 2(Rc) Приравняв, найдем (Rc): (Rc) = (10кор3)/3 Тогда расстояние ОсО легко вычислить из прямоуг. трапеции OcOLF, проведя высоту из т.О на основание OcF: OcO = ((Rc) - r )/sin30 = (14кор3)/3 Заметим, что FC = (Rc) / tg30 = 10Теперь аналогичные манипуляции проделаем с другой окружностью - Оа. Там пригодится найти sin(A/2)  и  cos(A/2)(через косинус двойного угла А): sin^2(A/2) = (1-cosA)/2.   Sin(A/2) = (кор3)/кор28 cos(A/2) = 5/кор28 sinHQOa = sin(60 + (A/2)) = (3кор3)/кор28 Теперь распишем составляющие гипотенузы АОа: АОа = АО + ОМ + МОа = 5/(cos(A/2))  +  r/(sin(A/2 +60)) + (Ra)/(sin(A/2 +60)). С другой стороны: АОа = (Ra) / sin(A/2) = ((Ra)кор28)/кор3. Приравняв и решив уравнение, получим: (Ra) = 2кор3 Заметим, что АК = (Ra)/tg(A/2) = 10 Значит: FK = 2+8+2 = 12. Завершающий шаг: Из прям. трапеции FKOaOc найдем ОаОс: ОaОс^2 = 144 + ((Rc)-(Ra))^2 = 144 + 16/3 ОаОс = кор(448/3) = (8кор21)/3 Ответ: ОаОс = (8кор21)/3; ОсО = (14кор3)/3.