Дан треугольник ABC, в котором AB=5, ra:rc=3:2, ra:r=11:4. Около треугольника описана окружность и проведена биссектриса угла B, которая пересекает эту окружность в точке D. Найдите: а) AD’ б) S(ABCD)

если продолжить стороны треугольника то внешне рисуем окружность которая касаетс

Решение:
хорды стягивают одинаковые дуги (В/2). Тр. ACD - равнобедренный. Его площадь: [AD^2*sin(П-B)]/2 = [AD^2*sinB]/2 Площадь АВС: (5ВСsinB)/2 S(ABCD) = (1/2)*sinB*(AD^2 + 5BC) Итак стратегия понятна: Помимо AD надо найти ВС и sinB для полного решения. Попробуем решить треугольник АВС: Найдем маленькие отрезки AF и СЕ: AF = (rc)/tg(BAF/2) = (rc)/tg(П/2  - A/2) = (rc)*tg(A/2) = 11r*tg(A/2) /6 CE = 11rtg(C/2) /4 Выразим и сторону b треуг. АВС через r и углы А/2  и  С/2: b = r(ctg(A/2) + ctg(C/2)) Теперь из тр-ов AOaE и COcF напишем систему двух уравнений: (b + (ra)tg(C/2))tg(A/2) = (ra) (b + (rc)tg(A/2))tg(C/2) = (rc) где (ra) = 11r/4,  (rc) = 11r/6 После упрощений и деления одного ур-ия на другое, получим соотношение между углами: tg(A/2) / tg(C/2) = 3/2 И в дальнейшем, выражая один тангенс через другой получим: tg(A/2) = кор(3/22) tg(C/2) = кор(2/33) Находим и другие нужные нам ф-ии: sinA = (2кор66)/25 sinC = (2кор66)/35 Видим, что синусы относятся как 7:5. Значит сторона а = ВС = 7 Теперь можно найти и sin(B/2), sin(C/2), sinB Далее по т. синусов из тр. ADB найдем AD: AD= (5sin(B/2))/sinC = 5кор(35/11) = 8,9 А теперь и площадь ABCD: S(ABCD) = (1/2)*(35 + 8,9^2)sinB = (1/2)*(35 + 79,2)*0,93 = 53 Ответ:  а) AD = 8,9.             б) S(ABCD) = 53