В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) вписана окружность. Через точку М, лежащей на стороне АВ, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке D. Найдите боковую сторону треугольника АВС, если АС=СD=14, МВ=1/8 АВ.

Решение:
АВС - равнобедр. тр-к. АВ = ВС = х.  h = BK - высота, r - радиус вписанной окружности. ОК = r, О - точка пересечения биссектрис - центр вписанной окр-ти. Остальные обозначения и построения - как описаны в условии. х = ? Сначала некоторые соотношения через площадь: S = pr, где р = (х+х+14)/2 = х+7  - полупериметр. S = (x+7)r S = AC*h/2 = 7h Приравняв, выразим h через r: h = (x+7)r/7.                                                                   (1) Из тр.АОК: tgA/2 = r/7 Из тр. АВК: tgA = h/7 Из тригонометрии: tgA = 2tgA/2 / (1-tg^2(A/2)) = 14r/(49-r^2) Значит h = 7tgA = 98r/(49-r^2)                                          (2) Приравняв (1) и (2), получим выражение для х через r: х = (686/(49-r^2))  - 7 = (343+7r^2)/(49-r^2)                   (3) Задача сводится к нахождению r^2. Треугольники AMN и АВК - подобны  (мы провели MN перпенд. АС) АМ/АВ = MN/ВК = AN/АК = 7/8 (следует из условия МВ = АВ/8) Значит: MN=7h/8 = 343r/(4(49-r^2)), AN = 7AK/8 = 49/8,  ND = AD - AN = 28 -(49/8) = 175/8 Из пр. тр-ка DOK: tgD/2 = r/KD = r/21 Из пр. тр. DMN: tgD = MN/ND = 686r/(175(49-r^2))             (4) Через тригонометрию: tgD = 2tgD/2 /(1-tg^2(D/2)) = 42r/(441-r^2)                       (5) Приравняв (4) и (5), получим уравнение для r^2: 686r/(175(49-r^2))  =  42r/(441-r^2)  7/(25(49-r^2))  =  3/(441-r^2) r^2 = 588/68 = 147/17                                                      (6) Теперь подставим (6) в (3) и найдем боковую сторону: $$ x\ \ =\ \ \frac{343*17\ +\ 7*147}{49*17\ -\ 147}=\ \ 10. $$ Ответ: 10