Основания равнобедренной трапеци равны а и b (a>b) угол при основании (большем) равен с. Найти радиус окружности, описанной около ттрапеции. Вычислить значение радиуса при а=2, b=1 и с=30 градусам.

Решение:
ABCD - равнобедр. трапеция. АВ = СD,  AD = a,  BC = b, угол А = углу D = с. O - центр описанной окружности - пересечение срединных перпендикуляров. АО = ОВ = R.Проведем высоты ВМ и СК.  ВМ = СК = h.  Пусть угол BDA = x. Из пр. тр. CDK: СК = h = KD*tgc = (a-b)tgc /2                     (1) С другой стороны из пр.тр. BMD: ВМ = h = MD*tgx = (a+b)tgx /2                                           (2) Приравняв (1) и (2), получим: tgx = $$ \frac{a-b}{a+b}\ tgc. $$                                 Найдем sinx = $$ \frac{1}{\sqrt{ctg^2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}}. $$                                   (3) Еще пригодится найти боковую сторону: CD = AB = $$ \frac{a-b}{2cosc}. $$                              (4) И наконец из равнобедр. тр. АОВ: АВ = 2Rsinx,  так как угол АОВ = 2х (центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на одну и ту же хорду АВ). Подставив (3) и (4) в полученное выражение, получим следующее уравнение для R: $$ \frac{2R}{\sqrt{\frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}}\ =\ \frac{a-b}{2cosc}. $$ Откуда получим выражение для R: $$ R\ =\ \frac{a-b}{4cosc}*\sqrt{\frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}. $$ При а = 2, b = 1,  c = 30гр, получим: R = $$ \frac{\sqrt{28}}{2\sqrt3}=\ \frac{\sqrt{21}}{3}. $$
Ответ: $$ R\ =\ \frac{a-b}{4cosc}*\sqrt{\frac{(a+b)^2ctg^2c}{(a-b)^2}+1}\ ,\ \ \ \ \ \ \frac{\sqrt{21}}{3}. $$