Точка, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, удалена от второй плоскости на 6 см, а от линии их пересечения - на 12 см. Вычислите угол между плоскост

Решение:
1. Рисуем плоскости (в виде полуприкрытой книги).     В верхней плоскости выбираем точку А и опускаем из неё перпендикуляр АС на нижнюю плоскость. АС=6 см.    Из точки А проводим перпендикуляр АВ к линии пересечения плоскостей. АВ=12 см.    Получаем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.    Находим угол В через его синус: sinB=AC:AB                                                       sinB=6:12=1/2                                                           B=30 град - это и есть угол между плоскостями.
2. Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.
вектор МК(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1) вектор РА(4-х;-1-у; 2-z)
A принадлежит оси ОХ, начит её координаты равны А(х;0;0)  вектор РА(4-х;-1-0; 2-0)=(4-х; -1;2)
векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0. МК*РА=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0            -2(4-х)-3+2=0             -8+2х-1=0              2х=9               х=4,5 А(4,5;0;0) - искомая точка
3. Можно воспользоваться рисунком из первой задачи, причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник АВС, основание которого АВ лежит на линии пересечения плоскостей. 1)Из вершины С опускаем два перпендикуляра, один СН на нижнюю плоскость,  а второй СF - к линии пересечения плоскостей. 2)Треугольник АВС-равносторонний (по условию), АВ=ВС=АС=m Высота AF треугольника АВС равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2 3)Теперь найдём расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа: АН=sin фи * msqr(3)/2