Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружности относительно этого треугольника.

Решение:
Воспользуемся двумя формулами для площади тр-ка: S = abc/(4R) S = pr,             где p = (a+b+c)/2, r и R - радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Тогда:  R = (abc)/(4S)              r = S/p                     r/R = (4S^2) / (pabc)     (1) Площадь через стороны по формуле Герона:         (p= (13+14+15)/2 = 21) S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = 21*8*7*6 = 7056 r/R = (4*7056) / (21*13*14*15) = 32/65  (примерно 1:2) Ответ: r/R = 32/65 (примерно 1:2)

вписанной окружности r=2S/(a+b+c) 
описанной окружности R=abc/4S 
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)) p=½(a+b+c) (p - половину периметра треугольника) p=½(13+14+15)
p=½*42 p=21 S=√(21(21-13)(21-14)(21-15)) S=√(21*8*7*6) S=√7056 S=84
r=2*84/(13+14+15) r=168/42 r=4
R=13*14*15/(4*84) R=2730/336 R=8,125
r/R=4/8,125 r/R=4/(8125/1000) r/R=4*1000/8125 r/R=4000/8125 r/R=32/65