Доказать, что в правильном шестиугольнике ABCDEF диагональ AC делит его на 2 фигуры, площади которых пропорциональны числам 1:5

Решение:

Пусть сторона шестиугольника равна а. Площадь шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной а, и она равна 1/2*a*a*sin60=6*√(3)*a^2/4 (по формуле S=1/2*a*b*sin[угла между сторонами a и b]). Треугольник ABC равнобедренный с боковой стороной а и  углом при вершине 120 градусов. Тогда его площадь равна 1/2*a*a*sin120=√(3)*a^2/4. Площадь оставшейся части равна 6*√(3)*a^2/4-√(3)*a^2/4=5*√(3)*a^2/4, значит, эти площади относятся как 1:5.

Точки А и С соединяем с центром О шестиугольника. Пролучаем РОМБ. И не просто ромб, а составленный из 2 равносторонних треугольников АОВ и ВСО. Если это непонятно, подумайте, какой получится равнобедренный треугольник с углом при вершине 360/6 = 60 градусов.

Площадь этого ромба 1/3 площади шестиугольника. А площадь треугольника АВС равна половине площади ромба, то есть 1/6 площади шестиугольника. Значит "оставшаяся" фигура имеет площадь 5/6 площади шестиугольника.