Сколько диагоналей можно провести из одной вершины многоугольника с : а) 5 сторонами, б) 6 сторонами, в) 7 сторонами, г) 10 сторонами?

Решение:

Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей. Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом, из одной вершины можно провести n − 3 диагонали; перемножим это на число вершин n, получим  (n -3 ) n.

Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца, то получившееся число надо разделить на 2.

d=(n² - 3n):2 По этой формуле нетрудно найти, что

d (5)=(5²-15):2=5
d (6)=(6²-18):2=9
d(7)=(7²-21):2=14
d(10)=(10² -30):2=35

Сколько диагоналей можно провести из вершины выпуклого многоугольника, если сумма величин его углов равна 2700⁰?

Сумма углов выпуклого многоугольника равна 180(n-2), где n - количество вершин (сторон).
180n=2700 + 360
n=3060:180=17
Это многоугольник с 17 углами.
Количество диагоналей в таком многоугольнике можно определить по формуле
d=(n² - 3n):2
Объясню, откуда она взялась.
Пусть n — число вершин многоугольника, вычислим d — число возможных разных диагоналей.

Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и, естественно, себя самой. Таким образом,

из одной вершины можно провести n − 3 диагонали;
перемножим это на число вершин (n -3 ) n
Но так как каждая диагональ посчитана дважды ( по разу для каждого конца), то получившееся число надо разделить на 2.
d=(n² - 3n):2

По этой формуле нетрудно найти, что у треугольника — 0 диагоналей у прямоугольника — 2 диагонали у пятиугольника — 5 диагоналей у шестиугольника — 9 диагоналей и т. Д.
У 17-угольника
d=(n² - 3n):2 =119 диагоналей.  

для начала вычислим кол-во углов: 180*(n-2)=2700 (это формула нахождения суммы величин углов выпуклого многоугольника); получаем 2700/180+2=17 углов, теперь находим количество диагоналей по формуле d=n(n-3)/2 d=17(17-3)/2 d=119 но это всего общее количество диагоналей, а тебе как я поняла, нужно количество проведенное из одной вершины, тогда просто 17-3=14 ответ:14 диагоналей

Сколько диагоналей можно провести из одной вершины выпуклого десятиугольника?

Посчитаем кол-во диагоналей, исходящих из одной вершины n-угольника. Диагонали идут ко всем ОСТАЛЬНЫМ вершинам, КРОМЕ СОСЕДНИХ, то есть, к n-1-2=n-3 вершинам. Всего n вершин. Посчитаем сумму количеств диагоналей исходящих из них: (n-3)*n. При этом каждую диагональ посчитали дважды (отрезок имеет 2 конца), поэтому всего диагоналей (n-3)*n/2=(10-3)*10/2=35. Ответ: 35 диагоналей.

5 углов многоугольника равны по 138 градусов, а все остальные - по 150. Сколько диагоналей можно провести в этом многоугольнике?

Количество диагоналей k у многоугольника можно вычислить по формуле:

k = n·(n – 3)/2, n -количество вершин (углов n-угольника)
осталось найти n.
еще формула: сумма углов выпуклого n-угольника = 180°*(n-2)
5*138° + 150°*(n-5) = 180°*(n-2)
690° + 150°n - 750° - 180°n + 360° = 0
30n = 300
n = 10 -это десятиугольник)
k = 10*(10-3)/2 = 5*7 = 35 -это количество диагоналей)