Найдите диагональ A1A3 правильного восьмиугольника A1.A8, если площадь треугольника A1A2A5 равна 9корней из2 метров квадратных.

Решение:

R=|A1-A5| /2 
a=|A1-A2| 
S(1,2,5) = 1/2 * 2R*a*sin((180-360/8)/2) 
a^2=R^2+R^2-2R^2*cos(360/8) 
-
a^2=R^2(2-2cos(45)) 
R^2=a^2/(2-2cos(45)) 
R=a / sqrt(2-2cos(45)) 
S(1,2,5) = a^2 / sqrt(2-2cos(45)) * sin((180-360/8)/2) 
a^2= S * sqrt(2-2cos(45)) / sin((180-360/8)/2) 
a^2= S * sqrt(2-sqrt(2)) / sin((180-45)/2) 
a^2= S * sqrt(2-sqrt(2)) / sqrt( (1-cos(180-45)) / 2) 
a^2= S * sqrt( 2-sqrt(2) ) / sqrt( (1+sqrt(2)/2) / 2 ) 
a^2= S * 2 * sqrt( 2-sqrt(2) ) / sqrt( 2+sqrt(2) ) 
Осталось подставить S и упростить, получим a^2.

---

Угол а20а3 (где о – середина окружности и восьмиугольника = равен 360/8=45

Площадь треугольника А1А2А5 = 1/2*а1а5*а1а2*sin(135/2)

Угол 135/2 т.к. Угол а5а1а2 опирается на дугу в 135 гр. И является вписанным.

А1а5=2R

A1a2=2r*cos(135/2)

S(a1a2a5)==1/2*2R*2R*cos (135/2)*sin(135/2)=R^2*sin135

S(a1a2a5)=9-/2 (-/  корень, ^=квадрат, /=деление, *=умножение)

R^2* (-/2  / 2)=9-/2

R^2=18

R=3-/2

а1а3=-/(18+18)=6