Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы прямые

Решение:

Формула для внутреннего угла Гамма при вершине правильного многоугольника такова:

Гамма = 180гр. * (1 - 2/п)

Здесь п - число сторон многоугольника

Задан угол Гамма = 90гр.

Подставим в формулу

90гр = 180 гр * (1-2/п)

Сократим на 90гр.

1 = 2 * (1-2/п)

1 = 2 - 4/п

4/п = 1

п = 4

4 стороны, т.к. Это либо квадрат, либо прямоугольник.

если внешний угол =90*, то внутренний =180-90=90*

а если все углы 90*, то это квадрат либо прямоугольник.

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов вместе с одним из внешних равна 23π/2

Обозначим один угол α, тогда внешний угол 180-α
Так как сумма внутренних углов любого четырехугольника равна 180 (n-2), а по условию это 23 ·90, то
180 ( n-2) + 180-α= 23·90 
23·90=22·90+90=11·180 +90
180·n-360+180-α=11·180+90
180·n=12·180 +α+90
если n=12, то α+90=0. α<0
если n=11, то  180+α+90=0  α<0
увеличиваем n
n=13  сократила на 180 ·12
180= α+90, α=90
n=14
360 = α+90 α=270  не может быть
n=15
540=α+90  α>360, чего быть не может

---

Сумма внутренних углов многоугольника равна:

∑α = 180*(n - 2)

Внешний угол равен 180 - α.

По заданию сумма внутренних углов вместе с одним из внешних равна

23 π/2 = 23*180 / 2 = 2070°.

Без учёта внешнего угла число сторон ориентировочно равно:

n = (2070/180) + 2 = 11,5 + 2 = 13,5.

Целое число сторон будет 13 или 14.

При n = 13  ∑α = 180*(13-2) = 

1980°.

Тогда внешний угол равен 2070 - 1980 = 90 градусов. Это вполне возможно.

При n = 14  ∑α = 180*(14-2) =  2160°, что больше заданного значения.

Ответ: n = 13.

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, кажый угол которого равен 60 гр.

Сторон и углов поровну.
Сумма углов 60*н
с другой стороны. Есть формула суммы внутренних углов многоугольника:
180*(н-2),
где н число сторон.
уравнение: 60н=180*(н-2)
сократим на 60 обе части и решай уравнение: н=3*(н-2)относительно н.

Вариант решения.  
Сумма внешних углов при вершинах выпуклого многоугольника равна 360°. Всегда.   
Каждый внешний угол данного многоугольника равен 180°-60°=120°, так как все его внутренние углы равны.
360°:120°=3. 
Многоугольник имеет 3 стороны. Это - треугольник.  

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 120 градусов?

Сумма углов многоугольника 180(n-2), где n-число сторон,
Если каждый угол 120°, то сумма углов будет 120n
120n=180(n-2)
60n=360
n=6

\( \alpha=120^{\circ} \\ n=3 \rightarrow 180^{\circ}:3=60^{\circ} \\ n=4 \rightarrow 360^{\circ}:4=90^{\circ} \\ n=5 \rightarrow 360^{\circ}:5=72^{\circ}\rightarrow 2\alpha +72^{\circ}=180^{\circ} \\ \rightarrow \beta=2\alpha =180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ} \\ n=6 \rightarrow 360^{\circ}:6=60^{\circ}\rightarrow 2\alpha+60^{\circ}=180^{\circ} \\ \rightarrow \beta=2\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} \\ \\ n=6 \)
Ответ:6 сторон

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160 градусов?

Можно найти по формуле: (n-2)*180, где n - кол-во углов.
Но, чтобы определить кол-во углов, нужно формулу "переделать", и тогда получится уравнение.  
(n-2)*180=2160
n-2=2160\180
n-2=12
n=10
Ответ: 10 сторон.