Дано основание прямоугольной призмы квадрат, радиус окружности вписанной в основание в 2 раза меньше радиуса окружности описанной около боковой грани призмы. Площадь боковой грани 4 корня из 3. Найти площадь поверхности фигуры

Решение:
Пусть сторона квадрата основания равна а, длина бокового ребра равна b. Тогда радиус вписанной в квадрат окружности равен а/2. А радиус описанной около прямоугольника (axb) окружности равен (1/2)*кор(a^2+b^2). Кроме того площадь боковой грани равна ab. В итоге получим систему: $$ a*b=4\sqrt{3}, $$ $$ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\ =\ 2*\frac{a}{2}. $$ Решим систему и найдем сторону квадрата основания: $$ a*b=4\sqrt{3} $$ $$ a^2+b^2=4a^2, $$ $$ b=\sqrt{3}*a,\ \ \ \ \sqrt{3}a^2=4\sqrt{3},\ \ \ \ \ a=2. $$ Площадь основания: Sосн = a^2 = 4. Площадь боковой поверхности: Sбок = $$ 4*4\sqrt{3}=16\sqrt{3}. $$ Искомая площадь полной поверхности: S = 2Sосн + Sбок = $$ 8(1+2\sqrt{3}). $$ Ответ: $$ 8(1+2\sqrt{3}). $$