В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположенный катет на отрезки длинной 4 и 5. Найти радиус описанной окружности около этого треугольника.

Решение:
Пусть АВС - прямоугольный треугольник, угол С прямой, СК=4, ВК=5 Катет СВ=СК+ВК=4+5=9 По свойству биссектриссы СК:ВК=АС:АВ=4:5
Пусть АС=4х, тогда АВ=5х По теореме Пифагора AB^2=AC^2+BC^2 (5x)^2=9^2+(4x)^2 25x^2=81+16x^2 25x^2 - 16x^2=81 9x^2=81 x^2=9 x>0,   x=3 Гипотенуза равна АВ=5*3=15
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы R=AB/2 R=15/2=7.5 ответ: 7.5