В треугольник со сторонами 20, 34, 42 вписан прямоугольник с периметром 40 так, что его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:
Пусть х и у - стороны пр-ка. Проведем дополнительно высоту ВЕ тр-ка АВС. Найдем ее. Площадь по формуле Герона: S = корень(48*28*14*6) = 336            (полупериметр р = 48) С другой стороны: S = (1/2)*42*BE = 336 Отсюда ВЕ = 16 Из подобия тр-ов ВКМ и АВС: х/42 = ВК/20 Отсюда ВК = 10х/21,  АК = 20  -10х/21 = (420-10х)/21 Из подобия тр-ов АКР и АВЕ: у/16 = АК/20 Или: у/16 = (42-х)/42 8х + 21у = 336 Другое уравнение системы получим из условия, что периметр пр-ка равен 40: х + у = 20.   Домножим это уравнение на (-8) и сложим с предыдущим. 13у = 176 у = 176/13,  тогда х = 20  - 176/13 = 84/13 Ответ: 176/13;  84/13.