На катете АС треугольника АВС (угол С=90 градусов) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D; BD=4 см, AD=9 см. Найдите CD.

Решение:
Выполнив чертеж, убедимся, что катет ВС - отрезок касательной, а ВА - секущая данной окружности.  По теореме о секущей и касательной: ВС квад = ВД * ВА = 4 * 13 = 52. Отсюда ВС = 2кор13. Найдем cos В: cosВ = ВС/АВ = (2кор13)/13.  Теперь рассмотрим треугольник ВDC: ВD=4; ВС=2кор13; cosB =2/кор13. Для нахождения CD применим теорему косинусов: CDквад = 16 + 52 - 2*4*2кор13*2/кор13 = 68 - 32 = 36. Отсюда  CD= 6см. Ответ: 6 см.