Дано: АВСD-трапеция, АО: СО=7:3,
ВD=40см.
Доказать: ВО*АО=СО*DО.
Найти: ВО и DО

Решение:
Треугольник ВОС подобен треугольнику АОD по I признаку (угол ВОС равен углу АОD как вертикальные, а угол ВСО равен углу ОАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD) => BO:OD=CO:OA => BO*AO=CO*DO. $$ \left \{ {{AO:OC=BO:DO} \atop {BO+OD=BD}} \right. $$ И т.к. АО:ОС=7:3, а ВD=40, то: $$ \left \{ {{\frac{7}{3}=\frac{DO}{OB}} \atop {OB+DO=40}} \right. $$ Выражая из этой системы ОВ и DO, получаем: ОВ=12, OD=28.