На рисунке изображен прямоугольный треугольник AВС, стороны которого касаются окружности радиуса 1 см. На какие отрезки точка касания делит гипотенузу треугольника, равную 5 см?

Решение:
АN = AK  ВМ = BК a = r + АN, b = r + BM, АN + ВМ = AK + KB = 5; Сумма длин катетов 5 + 2*1 = 7, а сумма квадратов 25.  поэтому катеты 3 и 4 (способов решения куча, прямой такой - сумма в квадрате 49, отсюда удвоенное произведение 49 - 25 = 24, отсюда разность в квадрате 1, разность, само собой, тоже 1, удвоенный меньший 6... и так далее) Отрезки гипотенузы 2 и 3.