В прямоугольном треугольнике ABC угол С = 90 (°), M -середина AC, N - середина BC, MN = 6 см, угол MNC = 30(°). Найдите: a) стороны треугольника ABC и длину отрезка AN b) площадь треугольника CMN

Решение:
  Угол СМN=90-уголMNC=90-30=60.  МС=MN*cos60=6*1/2=3.   NC=MN*cos30=6*(корень из 3)/2=3корня из 3.  По условию MN средняя линия треугольника АСВ. Тогда MN=1/2*AB. Отсюда АВ=2MN=2*6=12. Треугольники MCN и АСВ подобны по трём углам (общий при вершине и накрест лежащие при основании АВ и MN). Отсюда АС/MC=BC/NC=2.  Тогда АС=2МС=2*3=6, ВС=2NC=2*(3 корня из 3)= 6 корней из 3.  По теореме Пифагора AN=корень из(АС квадрат+ NC квадрат)= корень из (36+27)=3 корня из 7.  Площадь треугольника CMN равна S=1/2*МС*NС=1/2*3*(3 корня из 3)=4,5 корней из 3.