Ребро правильного тетраэдра равно а. Чему равен равен радиус полусферы, касающейся боковых граней тетраэдра, центр которой лежит на основании тетраэдра?

Вот вам решение, над которым придется подумать )))
Если ребро у тетраэдра равно b,
то высота H = b√6/3;
радиус вписанной сферы r = b√6/12 = H/4;
Если теперь сделать сечение параллельно одной из граней (назовем его "основанием") через центр вписанной сферы, то получится новый тетраэдр как раз с вписанной в него полусферой именно так, как задано в задаче.
Очевидно, что ребро такого тетраэдра a = 3b/4;
или, отсюда
r = a√6/9;