На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции на пополам. Найдите длину MN если BC=a и AD=b

Решение:
S(ABCD) = (a+b)*H/2 S(AMND) = (b+x)*h/2 = (a+b)*H/4 S(MBCN) = (a+x)*(H-h)/2 = (a+b)*H/4 Выразив h из второго уравнения и подставив в третье, получим: (a+x)(2b+2x-a-b) = (a+b)(b+x) 2x^2 = a^2 + b^2 x = кор( (a^2 + b^2)/2)

Так как отрезок МN параллелен основаниям трапеции и разбивает ее на две 
равновеликие трапеции, он является средним квадратичным для оснований 
трапеции. И находится он по формуле: $$ MN=\sqrt {\frac{BC^2+AD^2}{2}} $$. 
$$ MN=\sqrt {\frac{a^2+b^2}{2}} $$