В треугольнике abc угол b тупой. Продолжение высот AA1,bb1,cc1, пересекаються в точке o. Докажите, что угол abc=180- угол aoc.

Решение:
Пусть СМ - высота, опущенная из вершины С на продолжение стороны АВ. Угол АОС равен углу СВМ как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами. Угол АВС=180-уголСВМ (как смежные), заменим уголСВМ на уголАОС: уголАВС=180-уголАОС

Выполнив рисунок, рассмотрим выпуклый 4 -ник А1ОС1В. В нем два угла по 90 град (А1 = С1 = 90 гр). Так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр, сумма двух других углов равна 180 гр. А1ВС1 = АВС = 180 - АОС   что и требовалось доказать.