Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13/4, один из катетов равен а. Найти другой катет и площадь треугольника.

Решение:
В прямоугольном треугольнике R = c/2      r = (a + b - c)/2 R + r = (a + b)/2 Тогда  (a + b)/c = (R + r)/R = 17/13 Пусть гипотенуза треугольника равна С, а один из катетов равен Х. Тогда второй катет равен 17/13 * C - Х. Согласно теореме Пифагора Х² + (17/13 * C - X)² = C² X² + 289/169 * C² - 34/13 * C * X + X² = C² X² - 17/13 * C * X + 60/169 = 0 X₁ = 5/13 * C       X₂ = 12/13 * C Следовательно, если больший катет равен а, то меньший катет равен  а/2,4 = 5*a/12,  а площадь треугольника  S = a * (5*a/12) / 2 = 5 * a² / 24 . Если же меньший катет равен а, то больший катет равен  a * 12/5 = 2,4 * a   а площадь треугольника  S = a * 2,4 * a / 2 = 1,2 * a².