Окружностьпроходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС касается катета АС. В каком отнощении точка касания делит катет АС?

Решение:
Пусть точка D -  середина гипотенузы АВ, а точка Е - середина катета ВС. Отрезок DE - средняя линия треугольника, поэтому он параллелен катету АС и равен его половине. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре КМ к отрезку DE, поэтому КЕ = DE / 2 = AC / 4. Таким образом, точка касания делит катет АС в отношении  1 : 3