Куб авсdа1в1с1d1, найти sin между ва1с1 и вad1

Решение:
Пусть ребро куба равно 1.
Тогда BA1C1 - это равносторонний треугольник со стороной sqrt(2).
А BA1D1С - это прямоугольник со сторонами A1D1 = BC = 1, A1B = D1C = sqrt(2).

Угол между плоскостями будет равен углу С1NM, где N и M - это середины отрезков A1B и D1C соответственно.

Этот угол найдем из треугольника С1NM по теореме коминусов:
С1M^2 = C1N^2+MN^2-2*C1N*MN*cos(C1NM).

C1M = половине диагонали грани куба = sqrt(2)/2.
NM = ребру куба = 1.
C1N = высоте равностороннего треугольника BA1C1 = sqrt(2)*sqrt(3)/2 =
= sqrt(6)/2.

cos(C1NM) = (3/2 + 1 - 1/2)/2/(sqrt(6)/2) = 2/sqrt(6)

В ответе будет arccos(2/sqrt(6)).