Точка М, не лежащая в плоскости квадрата ABCD, одинаково удалена от его вершин А и С. Доказать, что АС перпендикулярна плоскости ВМD.

Решение:
Множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от A и C - прямая BD (серединный перпендикуляр к отрезку AC). Тогда проекция точки M на плоскость квадрата принадлежит прямой AC. Пусть N - проекция M на (ABC), тогда MN перпендикулярна AC. Также AC перпендикулярна BD, т.е. AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (BMD), этого достаточно, чтобы утверждать, что AC перпендикулярно (BMD).