На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С, D, которые делят окружность на дуги АВ, ВС, СD, DA, отношение которых равно 1:3:5:9. Определите длины этих дуг и площади ограниченных ими секторов.

Решение:
Длина окружности - $$ L=2\pi R $$. Плозадь круга - $$ S=\pi R^2 $$ Так как все четыре дуги составляют полную окружность, длина дуги AB равна $$ l_{AB}=\frac{L}{1+3+5+9}=\frac{\pi R}{9} $$ Её площадь равна: $$ S_{AB}=\frac{S}{1+3+5+9}=\frac{\pi R^2}{18} $$ Длина дуги  и площадь сектора BC втрое больше, чем у AB. $$ l_{BC}=\frac{\pi R}{3} $$ $$ S_{BC}=\frac{\pi R^2}{6} $$ Аналогично,
$$ l_{CD}=\frac{5\pi R}{9} $$ $$ S_{CD}=\frac{5\pi R^2}{18} $$ $$ l_{DA}=\pi R $$ S_{DA}=\frac{\pi R^2}{2}$$