В правильной треугольной пирамиде сторона основания составляет 1/3 бокового ребра. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями.

Решение:
Обозначим пирамиду АВСД. Д вершина. Проведём высоту основания ВЕ  из точки В на АС и высоту пирамиды ДЕ. Точка О лежит на ВЕ и является центром вписанной окружности правильного треугольника(основание). Обозначим сторону основания а, а боковое ребро в. Тогда по условию а=в/3. ЕО=r= (корень из 3/6)*а=в/6корней из 3. Апофема ДЕ=(корень из 3)/2*в. Угол ДЕВ будет линейным углом искомого двугранного угла(АС ребро двугранного угла, ВЕ перпендикуляр к ребру). Тогда cosДЕО=ЕО/ДЕ=(в/6 корней из 3):(корень из 3/2)*в=0,11. По таблице находим угол равен примерно 84°.