Можно ли раскрасить ребра додекаэдра в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?

Решение:
такой путь либо замкнут, либо его можно вытянуть в прямую, у которой только 2 конца (то есть только 2 точки, у которых есть "входящий" путь, но нет "исходящего"). Само собой это касается обоих цветов, поэтому "концевых" точек не может быть больше 4. В додекаэдре из каждой вершины выходит 3 ребра, то есть если для красного цвета эта вершина "проходная", то для синего - "концевая", которых (то есть "концевых") не может быть больше 4 всего. Явное противоречие, поэтому - нельзя.
А вот в тетраэдре можно....