На каждой стороне правильного треугольника, периметр которого равен 18 см, лежат две точки, делящие стороны на три равные части. Вычислите длину меньшей диагонали выпуклого шестиугольника, вершинами которого являются отмеченные точки

Шестиугольник получается правильный, все его стороны равны 18/3=6
(ΔAMN подобен ΔACB, k=am/ac=1/3 ⇒ MN=1/3*18=6, аналогично с другими сторонами)
наименьшая диагональ - диагональ, соединяющая вершины через одну, например LN.
AM=ML=6, NM=6, где NM-медиана треугольника ALN ⇒ треугольник ALN прямоуг. Угол ANL=90 ⇒ LN=\( \sqrt{AL^{2}-AN^{2}} = \sqrt{12^{2}-6^{2}}= \sqrt{108}=6 \sqrt{3} \)(теор. Пифагора)
Ответ \( 6 \sqrt{3} \)